数学中的因式分解技巧
常用公式
\begin{equation*} a^2 - b^2 = (a + b)(a-b) \end{equation*}
\begin{equation*} a^3 + b^3 = (a + b)(a^2-ab+b^2) \end{equation*}
\begin{equation*} a^3 + b^3 = (a - b)(a^2+ab+b^2) \end{equation*}
\begin{equation*} a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \end{equation*}
\begin{equation*} a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \end{equation*}
\begin{equation*} a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3 \end{equation*}
\begin{equation*} a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3 \end{equation*}
\begin{equation*} a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b+…-ab^{n-2}+b^{n-1}) , n为正奇数 \end{equation*}
\begin{equation*} a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b+…+ab^{n-2}+b^{n-1}), n为正整数 \end{equation*}
\begin{equation*} a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]，由轮换式可推 \end{equation*}
十字相乘
如果二次三项式的$ax^2+bx+c=0$的系数和为0， \begin{equation*} a+b+c=0 \end{equation*} 那么1必为方程的根，该因式必能分解出一个$(x-1)$。
扩展
如果多项式的系数之和为0，那必能分解出$(x-1)$。
如果多项式的偶次项系数之和减去奇数项系数的和为0，那么必能分解出$(x+1)$。
长十字相乘
长十字相乘可以解决形如$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$的二元二次因式分解，同样也可以解决三元二次齐次式的因式分解$ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2$。
做三次十字相乘，第一次只看带x，y二次项的系数，第二次看没有y的项，第三次用没有x的项验算。
例题
例1： 如分解因式$x^2-6xy+9y^2-5xz+15yz+6z^2$，
三组十字相乘为
1 -3
1 -3
这一组得到$x^2-6xy+y^2$中$-6xy$的系数-6。
1 -2
1 -3
这一组得到$x^2-5xz+6z^2$中$-5xz$的系数-5。
-3 -2
-3 -3
这一组验算可以得到$9y^2+15yz+6z^2$中$15yz$的系数-15。
所以分解后的因式为$(x-3y-2z)(x-3y-3z)$。
注意，并不是所有二元二次因式都是可以分解的。
技巧
换元
用一个小变量$u$代替一个大的重复的因式。
分清主次
把一个字母当成主要字母，把多项式看成以该字母为变量的多项式。然后比如降幂排列整理，然后应用十字相乘。
展开处理
多项式的一次根式
多项式$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}++a_{n-2}x^{n-2}+…+a_1x+a_0$的有理根 $c=p/q$, $p$一定是常数项$a_0$的因数，$q$一定是首项系数$a_n$的因数。
例如，
对$3x^3+x^2+x-2$的$p$只可能为$\pm1$和$\pm2$，$q$只可能为$\pm1$和$\pm3$，所以有理根只可能为$\pm1$，$\pm2$，$\pm(\frac{1}{3})$，$\pm(\frac{2}{3})$。
当$a_n=0$时，$q$只能为$\pm1$，所以所有有理根只能为整数根。
待定系数法
对称式和轮换式
对称式是交换任意两个变量后保持不变的多项式。 轮换式是将变量轮换（比如$x$换成$y$，$y$换成$z$，$z$换成$x$）后保持不变的多项式。轮换式不一定是对称式，比如$x^2y+y^z+z^2x$。次数低于3的轮换式都是对称式。
典型方法
- 首先判断式子是不是一个轮换式。
- 然后找到通过其他方法（比如多项式的一次根式）找到一个根，并得到对应因式（比如$x=y$可以推得因式$(x-y)$）。
- 然后就可以利用轮换性得到其他因式，比如$(y-z)$和$(z-x)$。
- 然后比较已经找到的所有因式和原式。如果次数已经相同，则给因式补一个系数$K$，然后设变量为实际数字待定系数得到$K$。如果找到的因式的次数仍小于原式，则给因式补足低次轮换式。继续使用待定系数找到系数。如果找到的因式已经大于原式，这说明该多项式不可以被因式分解。
一次轮换式： \begin{equation*} l(x+y+z) \end{equation*}
二次轮换式： \begin{equation*} l(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx) \end{equation*}
三次轮换式： \begin{equation*} l(x^3+y^3+z^3)+m(x^2y+y^2z+z^2x)+n(xy^2+yz^2+zx^2)+kxyz \end{equation*}
当原式非齐次的时候，可以分组。把他们分为两个齐次多项式的和，然后就可以重复利用上面的方法了。
$a^3+b^3+c^3-3abc$
由轮换式可推： \begin{equation*} a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \end{equation*}
当$a+b+c=0时$，$a^3+b^3+c^3=3abc$。这是一个很重要的结论。
四次轮换式
例 17 分解因式：$(b + c - a - d)^4 (b - c)(a - d) + (c + a - b - d)^4 (c - a)(b - d) + (a + b - c - d)^4 (a - b)(c - d)$。
解 原式是 $a, b, c$ 的轮换式，用前面的方法易知它有因式$$(a - b)(b - c)(c - a).$$
另一方面，把原式看成 $d$ 的多项式，在 $d = a$ 时，易知它是 0，故原式有因式 $d - a$。再由轮换性，它也有因式 $d - b$，$d - c$。于是$$(a - b)(b - c)(c - a)(d - a)(d - b)(d - c)$$是它的因式。
因为原式是 $a, b, c, d$ 的 6 次式，我们设$$(b + c - a - d)^4 (b - c)(a - d) + (c + a - b - d)^4 (c - a)(b - d) + (a + b - c - d)^4 (a - b)(c - d)$$$$= k(a - b)(b - c)(c - a)(d - a)(d - b)(d - c).$$
令 $a = 1, b = 0, c = -1, d = 2$，得 $k = 16$。即$$\text{原式} = 16(a - b)(b - c)(c - a)(d - a)(d - b)(d - c).$$